Question

17．已知椭圆 $\frac{{y}^{2}}{9}$+x²=1，过点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为9x+y-5=0．

Answer 1

分析 由A，B在椭圆上，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{1}^{2}}{9}+{x}_{1}^{2}=1}\\{\frac{{y}_{2}^{2}}{9}+{x}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，两式相减：$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$+（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，由中点坐标公式可知：x₁+x₂=1   y₁+y₂=1，即可求得直线的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-9，利用点斜式方程，即可求得直线AB的方程．

解答 解：已知椭圆：$\frac{{y}^{2}}{9}$+x²=1，过点（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的直线与椭圆相交于A，B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{1}^{2}}{9}+{x}_{1}^{2}=1}\\{\frac{{y}_{2}^{2}}{9}+{x}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，两式相减：$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$+（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
∵P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）是A、B的中点，
由中点坐标公式可知：x₁+x₂=1   y₁+y₂=1
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-9，
则直线AB的方程为：y-$\frac{1}{2}$=-9（x-$\frac{1}{2}$）
整理得：9x+y-5=0，
故答案为：9x+y-5=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程，圆锥曲线的中点弦公式，直线的点斜式公式，考查“点差法”的应用，属于中档题．