Question

5．已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=-1，数列{a_n}是以$\frac{π}{4}$为公差的等差数列，若f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=3π，则$\frac{{a}_{2014}}{{a}_{2}}$=（　　）

• A． 2016
• B． 2015
• C． 2014
• D． 1013

Answer 1

分析 函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，可设：f（x）=2x-cosx+c，由f（0）=-1，解得c=0．可得f（x）=2x-cosx．由f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=3π，可得2a₂-cosa₂+2a₃-cosa₃+2a₄-cosa₄=3π．可得cosa₂+cosa₃+cosa₄=0．即2a₂+2a₃+2a₄=3π，可得：a₂，a₃，a₄．利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，可设：f（x）=2x-cosx+c，∵f（0）=-1，∴-1+c=-1，解得c=0．
∴f（x）=2x-cosx．
∵数列{a_n}是以$\frac{π}{4}$为公差的等差数列，∴a_n=a₁+$\frac{π}{4}$（n-1）．
∵f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=3π，∴2a₂-cosa₂+2a₃-cosa₃+2a₄-cosa₄=3π.2a₂+2a₃+2a₄-（cosa₂+cosa₃+cosa₄）=3π．
∴cosa₂+cosa₃+cosa₄=0．即2a₂+2a₃+2a₄=3π，可得：a₂=$\frac{π}{4}$，a₃=$\frac{π}{2}$，a₄=$\frac{3π}{4}$．
∴a₂₀₁₄=a₂+1012×$\frac{π}{4}$=1013×$\frac{π}{4}$，
则$\frac{{a}_{2014}}{{a}_{2}}$=1013．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、三角函数求值、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．