Question

20．在正项数列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n项和，点A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n＞1）在曲线x²-y²=n上，数列{b_n}的通项公式为b_n=3^n-1
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由点A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n＞1）在曲线x²-y²=n上，代入即可求得a_n=S_n-S_n-1=n，当n=1时，a₁=1，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知：c_n=a_nb_n=n•3^n-1，利用“错位相减法”即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由点A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n＞1）在曲线x²-y²=n上，
∴S_n-S_n-1=n，
则a_n=S_n-S_n-1=n，
当n=1时，a₁=1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（2）由（1）可知：a_n=n，b_n=3^n-1，
则c_n=a_nb_n=n•3^n-1，
数列{c_n}的前n项和T_n，T_n=1•3⁰+2•3+3•3²+…+n•3^n-1，①
3T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，②
①-②，得：-2T_n=1+3+3²+3³+…+3^n-1-n•3ⁿ，
=1+$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-n•3ⁿ，
=$\frac{（1-2n）•{3}^{n}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
∴T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}}{4}$+$\frac{1}{4}$，
数列{c_n}的前n项和T_n，T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}}{4}$+$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查数列的递推公式，考查数列通项公式的求法，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．