Question

18．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：

日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
温差x（℃）	10	11	13	12	8
发芽数y（颗）	23	25	30	26	16

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率．
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程$\widehaty=bx+a$；假设由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
附：参考公式：b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （1）求出抽到相邻两组数据的事件概率，利用对立事件的概率计算抽到不相邻两组数据的概率值；
（2）由表中数据，利用公式计算回归直线方程的系数，写出回归直线方程，利用方程计算并判断所得到的线性回归方程是否可靠．

解答 解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，
每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，
所以$P（A）=1-\frac{4}{10}=\frac{3}{5}$；
（2）由数据，求得$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（10+11+13+12+8）=10.8，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（23+25+30+26+16）=24；
由公式，求得
$\sum_{i=1}^{5}$（x_iy_i）=10×23+11×25+13×30+12×26+8×16=1335，
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=10²+11²+13²+12²+8²=598；
所以$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{5}{2}$，
$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$=-3；
所以y关于x的线性回归方程是$\overline y=\frac{5}{2}x-3$；
当x=10时，$\widehaty=\frac{5}{2}×10-3=22$，|22-23|＜2；
同样，当x=8时，$\widehaty=\frac{5}{2}×8-3=17$，|17-16|＜2；
所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．

点评 本题考查了等可能事件的概率与回归直线方程的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是综合性题目．