Question

8．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{3}^{x}（x≤0）}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+a（x＞0）}\end{array}\right.$在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． 0＜a＜$\frac{16}{3}$
• B． a＜$\frac{16}{3}$
• C． a＜0或a＞$\frac{16}{3}$
• D． a≤$\frac{16}{3}$

Answer 1

分析 根据函数的单调性画出函数的图象，及题意其定义域R上有3个零点，函数f（x）在（-1，0）内有一个零点，在区间（0，+∞）上必须有2个零点，
 即可求出a的取值范围．

解答 解：①当x≤0时，f（x）=x+3^x．
∵函数y=x与y=3^x在x≤0时都单调递增，
∴函数f（x）=x+3^x在区间（-∞，0]上也单调递增，又f（-1）=-$\frac{2}{3}＜0$，f（0）=1＞0，
所以函数f（x）在（-1，0）内有一个零点，如图所示．
②当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+a..（x＞0）$，∴f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）．
令f′（x）=0，且x＞0，解得x=2．
当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在区间（0，2）上单调递减；在区间（2，+∞）上单调递增．
∴函数f（x）在x=2时求得极小值，也即在x＞0时的最小值．
∵函数f（x）在其定义域R上有3个零点，且由（1）可知在区间（-1，0）内已经有一个零点了，所以在区间（0，+∞）上必须有2个零点，
当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上只有1个零点，
∴必须满足a＞0且f（2）＜0，解得0＜a$＜\frac{16}{3}$
故选：A．

点评 本题考查函数零点判定定理，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题