Question

19．已知函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），满足条件：①f（2）=1，②f（xy）=f（x）+f（y），③当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求证：函数f（x）是偶函数；       
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）求不等式f（x）+f（x+3）≤2的解集．

Answer 1

分析 （1）由条件先得到f（1）=0，再得到f（-1）=0，根据f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），可得f（x）是偶函数．
（2）任意取x₂＞x₁＞0，可得f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，由$f（{x_2}）=f（{x_1}•\frac{x_2}{x_1}）=f（{x_1}）+f（\frac{x_2}{x_1}）$，可得f（x₂）＞f（x₁），可得f（x）在（0，+∞）上是增函数，再利用函数为偶函数，得出结论．
（3）原不等式可转化为f（x（x-3））≤f（4），可得|x（x-3）|≤4，解得x的范围．

解答 解：（1）证明：函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
满足条件：①f（2）=1，②f（xy）=f（x）+f（y），
由f（2）=f（1×2）=f（1）+f（2），得f（1）=0．
由f（1）=f（[-1]×[-1]）=2f（-1）=0，得f（-1）=0．
∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），∴f（x）是偶函数．
（2）根据当x＞1时，f（x）＞0，任意取x₂＞x₁＞0，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴$f（{x_2}）=f（{x_1}•\frac{x_2}{x_1}）=f（{x_1}）+f（\frac{x_2}{x_1}）$，∴f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
又f（x）是偶函数，∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．
（3）由f（x•y）=f（x）+f（y），得f（x）+f（x-3）=f（x（x-3））．
又f（4）=f（2×2）=2f（2）=2，∴原不等式可转化为f（x（x-3））≤f（4）．
∵f（x）是偶函数，∴|x（x-3）|≤4，解得：-1≤x≤4，且x≠0，
∴不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集是[-1，0）∪（0，4]．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，函数的奇偶性、单调性的判断和应用，属于中档题．