Question

6．半径长为2的扇形AOB中，圆心角为$\frac{2π}{3}$，按照下面两个图形从扇形中切割一个矩形PQRS，设∠POA=θ．
（1）请用角θ分别表示矩形PQRS的面积；
（2）按图形所示的两种方式切割矩形PQRS，问何时矩形面积最大．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的面积公式，分别表示即可，
（2）根据三角函数中θ的范围，分别计算求出各自的最大值，比较即可．

解答 解：（1）对于图1，由题意知PS=OPsinθ=2sinθ，OS=OPcosθ=2cosθ，
∴S_PQRS=S₁=OP•OS=4sinθcosθ=2sin2θ，（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
对于图2由题意知，设PQ的中点为N，PM=2sin（$\frac{π}{3}$-θ），
∴MN=0M-ON=2cos（$\frac{π}{3}$-θ）-$\frac{2sin（\frac{π}{3}-θ）}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinθ，
∴S_PQRS=S₂=2PM•MN=4sin（$\frac{π}{3}$-θ）•$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinθ=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）sinθ，（0＜θ＜$\frac{π}{3}$），
（2）对于图1，当sin2θ=1时，即θ=$\frac{π}{4}$时，S_max=2，
对于图2，S₂=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）sinθ=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$[sin（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$]，
∵0＜θ＜$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜2θ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（2θ+$\frac{π}{6}$）≤1，
当sin（2θ+$\frac{π}{6}$）=1，即θ=$\frac{π}{6}$时，S_max=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
综上所述，按照图2的方式，当θ=$\frac{π}{6}$时，矩形面积最大．

点评 本题考查了图形的面积最大问题，关键是三角形函数的化简和求值，属于中档题．