Question

已知函数y=log_a（x-2）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则

3

m

+

1

n

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由函数y=log_a（x-2）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A求得A的坐标，代入直线mx+ny+1=0得到-3m-n=1，代入

3

m

+

1

n

=（

3

m

+

1

n

）（-3m-n）整理后利用基本不等式求最值．

解答： 解：∵函数y=log_a（x-2）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，
则A（3，1），
∵点A在直线mx+ny+1=0上，
∴3m+n=-1，-3m-n=1．
又mn＞0，
∴m＜0，n＜0．
∴

3

m

+

1

n

=（

3

m

+

1

n

）（-3m-n）=-10-（

3n

m

+

3m

n

）≤-10-2

3n m • 3m n

=-16．
故答案为：-16．

点评：本题考查了基本不等式在求函数最值中的应用，利用基本不等式求函数最值，注意“一正、二定、三项等”，是基础题．