Question

3．已知e是自然对数的底数，f（x）=me^x，g（x）=x+3，φ（x）=f（x）+g（x），h（x）=f（x）-g（x-2）-2017．
（Ⅰ）设m=1，求h（x）的极值；
（Ⅱ）设m＜-e²，求证：函数φ（x）没有零点；
（Ⅲ）若m≠0，设$F（x）=\frac{m}{f（x）}+\frac{4x+4}{\begin{array}{l}g（x）-1\end{array}}$，求证：F（x）＞3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设m=1，求导数，确定函数的单调性，即可求h（x）的极值；
（Ⅱ）设m＜-e²，证明当x=ln（-$\frac{1}{m}$）时，函数φ（x）取得最大值，最大值为ϕ[ln（-$\frac{1}{m}$）]=2-ln（-m），即可证明：函数φ（x）没有零点；
（Ⅲ）x＞0，F（x）＞3化为（x-2）e^x+x+2＞0，构造函数，求导数，确定函数的单调性，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：∵f（x）=me^x，g（x）=x+3，m=1，
∴f（x）=e^x，g（x-2）=x+1，
∴h（x）=f（x）-g（x-2）-2017=e^x-x-2018．
∴h'（x）=e^x-1，由h'（x）=0得x=0．
∵e是自然对数的底数，∴h'（x）=e^x-1是增函数．
∴当x＜0时，h'（x）＜0，即h（x）是减函数；
当x＞0时，h'（x）＞0，即h（x）是增函数．
∴函数h（x）没有极大值，只有极小值，且当x=0时，h（x）取得极小值．
∴h（x）的极小值为h（0）=-2017．
（Ⅱ）证明：∵f（x）=me^x，g（x）=x+3，
∴φ（x）=f（x）+g（x）=m•e^x+x+3，∴φ'（x）=m•e^x+1．
∵m＜-e²＜0，∴φ'（x）=m•e^x+1是减函数．
由φ'（x）=m•e^x+1=0解得x=ln（-$\frac{1}{m}$）．
当x∈（-∞，ln（-$\frac{1}{m}$））时，φ'（x）=m•e^x+1＞0，此时函数φ（x）是增函数，
当x∈（ln（-$\frac{1}{m}$），+∞）时，φ'（x）=m•e^x+1＜0，此时函数φ（x）是减函数，
∴当x=ln（-$\frac{1}{m}$）时，函数φ（x）取得最大值，最大值为ϕ[ln（-$\frac{1}{m}$）]=2-ln（-m）．
∵m＜-e²，∴2-ln（-m）＜0，∴φ（x）＜0，
∴当m＜-e²时，函数φ（x）没有零点．
（Ⅲ）证明：∵f（x）=me^x，g（x）=x+3，
F（x）=$\frac{m}{f（x）}$+$\frac{4x+4}{g（x）-1}$=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{4x+4}{x+2}$，
∵x＞0，∴F（x）＞3化为（x-2）e^x+x+2＞0．
设u（x）=（x-2）e^x+x+2，则u′（x））=（x-1）e^x+1．
设v（x）=（x-1）e^x+1，则v′（x）=xe^x．
∵x＞0，∴v'（x）＞0．
又∵当x=0时，v'（x）=0，∴函数v（x）在[0，+∞）上是增函数．
∵x＞0，∴v（x）＞v（0），即v（x）＞0．
又∵x=0，v（x）=0，
∴当x＞0时，u'（x）＞0；当x=0时，u'（x）=0，
∴函数u（x）在[0，+∞）上是增函数．
∴当x＞0时，u（x）＞u（0），即（x-2）e_+x+2＞0．
∴当x＞0时，F（x）＞3．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．