Question

已知△ABC三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足a=2，2bcosC+c=2a，sin（2A+

π

6

）+cos2A=

3

2

，则S_△ABC=（　　）

• A、2

  3

• B、

  3

• C、

  2

• D、2

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,解三角形

分析：根据2bcosC+c=2a，由余弦定理求出角B，由sin（2A+

π

6

）+cos2A=

3

2

，求出角A，根据内角和定理求角C，C为直角，由a=2，求出边b和c，进而利用面积公式求解．

解答： 解：∵2bcosC+c=2a，由余弦定理得：2b×

a2+b2-c2

2ab

+c=2a，
整理得：a²+c²-b²=ac
根据余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
∵B为三角形的内角，∴B=

π

3

∵sin（2A+

π

6

）+cos2A=

3

2

，
∴

3

2

sin2A+

1

2

cos2A+cos2A=

3

2

，
∴sin（2A+

π

3

）=

3

2

，∴2A+

π

3

=

2π

3

解得：A=

π

6

，由内角和定理得，C=

π

2

，
∵a=2，∴c=4，
由勾股定理得，b=2

3

．
∴S_△ABC=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
故选：A．

点评：本题考查了三角变换及解三角形，考查了两角和差公式的运用及余弦定理、内角和定理和面积公式，解题的关键是合理的选择公式．