Question

已知函数f（x）=x²+ax+b，若存在实数m，使得|f（m）|≤

1

4

，|f（m+1）|≤

1

4

，则判别式△=a²-4b的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,简单线性规划

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：存在实数m，使得|f（m）|≤

1

4

，|f（m+1）|≤

1

4

同时成立，即为两变量对应的函数值的绝对值都小于等于

1

4

的两变量之间间隔不超过1，故须对a²-4b和-

1

4

，

1

4

的大小分情况讨论，求出a²-4b的取值范围，进而求得判别式△=a²-4b的取值范围．

解答： 解：若存在实数m，使得|f（m）|≤

1

4

，|f（m+1）|≤

1

4

同时成立，即为两变量对应的函数值的绝对值都小于等于

1

4

的两变量之间间隔不超过1，故须对a²-4b和-

1

4

，

1

4

的大小分情况讨论
①当-

1

4

≤a²-4b≤0时，由方程x²+ax+b=

1

4

，解得|x₁-x₂|=

a2-4b+1

≤1，不满足．（8分）
②当

1

4

＞a²-4b＞0时，由方程x²+ax+b=

1

4

，解得|x₁-x₂|=

a2-4b+1

∈（1，

5

2

），满足题意．（11分）
③当a²-4b≥

1

4

时，由方程x²+ax+b=

1

4

，解得|x₁-x₂|=

a2-4b+1

∈[

5

2

，+∞）；由方程x²+ax+b=-

1

4

，解得满足题意x_3，4=

-a± a2-4b-1

2

，
故|x₁-x₃|=

1

2

（

a2-4b+1

-

a2-4b-1

）=

1

a2-4b+1 + a2-4b-1

＜1；
所以只|x₃-x₄|=

a2-4b-1

≤1即可，此时a²-4b≤2，
综上所述，判别式△=a²-4b的取值范围为[0，2]．
故答案为：[0，2]．

点评：本题考查了数学上的分类讨论思想．分类讨论目的是，分解问题难度，化整为零，各个击破．