Question

设双曲线C：

y2

16

-

x2

b2

=1（b＞0）的上、下焦点分别为F₁，F₂，且双曲线C的一条渐近线的一个方向向量

v

=（3，4），过下焦点F₁的直线l交双曲线的下支于A，B两点，则|BF₂|+AF₂|的最小值为（　　）

• A、

  19

  2

• B、

  41

  2

• C、19
• D、41

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用曲线C的一条渐近线的一个方向向量

v

=（3，4），求出a，再利用双曲线的定义，结合当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小，即可求出|BF₂|+AF₂|的最小值．

解答： 解：∵曲线C的一条渐近线的一个方向向量

v

=（3，4），
∴

4

b

=

4

3

，
∴b=3，
由双曲线的定义可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=8…①，
|BF₂|-|BF₁|=2a=8…②，
①+②可得：|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=16，
∵下焦点F₁的直线l交双曲线的下支于A，B两点，
∴|AF₁|+|BF₁|=|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小．
∴|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=|AF₂|+|BF₂|-|AB|=16．
∴|BF₂|+|AF₂|=|AB|+16≥

2b2

a

+16=

41

2

．
故选：B．

点评：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，正确运用双曲线的定义是关键．