Question

10．已知函数f（x）=lgsin（$\frac{π}{3}$-2x）．
（1）求函数f（x）的定义域及值域；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质即可求出函数的定义域和值域．
（2）根据复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可．

解答 解：（1）sin（$\frac{π}{3}$-2x）＞0得-sin（2x-$\frac{π}{3}$）＞0，即sin（2x-$\frac{π}{3}$）＜0，
得2kπ-π＜2x-$\frac{π}{3}$＜2kπ，k∈Z，即kπ-$\frac{π}{3}$＜x＜kπ+$\frac{π}{6}$，
即函数的定义域为（kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$），k∈Z，
∵0＜sin（$\frac{π}{3}$-2x）≤1．
∴f（x）≤0，即函数的值域为（-∞，0]．
（2）要求函数f（x）=lgsin（$\frac{π}{3}$-2x）的单调递增区间，即求函数t=sin（$\frac{π}{3}$-2x）递增区域，
即求m=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的递减区间，
由2kπ-π＜2x-$\frac{π}{3}$＜2kπ-$\frac{π}{2}$，得kπ-$\frac{π}{3}$＜x＜kπ-$\frac{π}{12}$，
即函数lgsin（$\frac{π}{3}$-2x）的单调递增区间为（kπ-$\frac{π}{3}$，kπ-$\frac{π}{12}$），k∈Z．

点评 本题主要考查函数定义域和值域的计算以及函数单调性的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．