Question

已知函数f（x）=xe^x，记f₀（x）=f′（x），f₁（x）=f′（x₀），…，f_n（x）=f′_n-1（x）且x₂＞x₁，对于下列命题：
①函数f（x）存在平行于x轴的切线；
②

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0；
③f′₂₀₁₂（x）=xe^x+2014e^x；
④f（x₁）+x₂＜f（x₂）+x₁．
其中正确的命题序号是

 

（写出所有满足题目条件的序号）．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：根据导数的几何意义判断①正确，根据导数和函数的单调性判断②错；根据导数的运算，得到③正确，根据导数与函数的单调性的关系判断④错

解答： 解：对于①，因为f′（x）=（x+1）e^x，易知f′（-1）=0，函数f（x）存在平行于x轴的切线，故①正确；
对于②，因为f′（x）=（x+1）e^x，所以x∈（-∞，-1）时，函数f（x）单调递减，x∈（-1，+∞）时，函数f（x）单调递增，故

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0的正负不能定，故②错；
对于③，因为f₁（x）=f′（x₀）=xe^x+2e^x，f₂（x）=f′（x₁）=xe^x+3e^x，…，f_n（x）=f′_n-1（x）=xe^x+（n+1）e^x，
所以f′₂₀₁₂（x）=f₂₀₁₃（x）=xe^x+2014e^x；故③正确；
对于④，f（x₁）+x₂＜f（x₂）+x₁等价于f（x₁）-x₁＜f（x₂）-x₂，构建函数h（x）=f（x）-x，则h′（x）=f′（x）-1=（x+1）e^x-1，
易知函数h（x）在R上不单调，故④错；
故答案为：①③

点评：本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性的关系，以及导数的运算法则，属于中档题