Question

设函数f（x）=x³-3ax，若对任意实数m，直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是

 

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Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：由直线x+y+m=0得直线斜率为-1，直线x+y+m=0不与曲线f（x）相切知曲线f（x）上任一点斜率都不为-1，即f′（x）≠-1，求导函数，并求出其范围[-3a，+∞），得不等式-3a＞-1，即得实数a的取值范围．

解答： 解：设f（x）=x³-3ax，求导函数，
可得f′（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵对任意实数m，直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，
∴-1∉[-3a，+∞），∴-3a＞-1，
即实数a的取值范围为a＜

1

3

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故答案为：a＜

1

3

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点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．