Question

如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP：PM的值．

Answer 1

解：设=，=，
则=+=-3-，
=2+
∵A、P、M和B、P、N分别共线，
∴存在实数λ、μ使
=λ=-λ-3λ，=μ=2μ+μ，
故=-=（λ+2μ）+（3λ+μ）．
而=+=2+3
∴解得
故=，即AP：PM=4：1．
分析：根据题意把=，=，作为该平面的一组基底，根据向量运算的三角形法则及共线向量定理分别表示出，，即可求得AP：PM的值．
点评：此题是个中档题．考查向量加法的三角形法则和共线向量定理以及平面向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把向量放在封闭图形中求解，体现了转化的思想和数形结合的思想方法．