Question

6．已知A={x|x²-x-2＜0}；B={x|x²-ax-2a²≥0}
①若A∩B=∅，求a的范围；
②如A∪B=R，求a的范围．

Answer 1

分析 ①求出A中不等式的解集确定出A，讨论a的正负，表示出B中不等式的解集确定出B，根据A与B的交集为空集确定出a的范围即可；
②根据A与B的并集为R，确定出a的范围即可．

解答 解：①由A中不等式变形得：（x-2）（x+1）＜0，
解得：-1＜x＜2，即A=（-1，2），
由B中不等式变形得：（x+a）（x-2a）≥0，
当a＞0时，解得：x≤-a或x≥2a，此时B=（-∞，-a]∪[2a，+∞）；
当a=0时，x为任意实数；
当a＜0时，解得：x≤2a或x≥-a，此时B=（-∞，2a]∪[-a，+∞），
当a＞0时，由A∩B=∅，得到$\left\{\begin{array}{l}{-a≤-1}\\{2a≥2}\end{array}\right.$，即a≥1；
当a＜0时，由A∩B=∅，得到$\left\{\begin{array}{l}{2a≤-1}\\{-a≥2}\end{array}\right.$，即a≤-2，
综上，a的范围为（-∞，-2]∪[1，+∞）；
②当a＞0时，由A∪B=R，得到$\left\{\begin{array}{l}{-a＞-1}\\{2a＜2}\end{array}\right.$，即0＜a＜1；
当a=0时，满足题意；
当a＜0时，由A∪B=R，得到$\left\{\begin{array}{l}{2a＞-1}\\{-a＜2}\end{array}\right.$，即-$\frac{1}{2}$＜a＜0，
综上，a的范围为（-$\frac{1}{2}$，1）．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．