Question

18．数列{a_n}前n项和为S_n，且a_n=$\frac{1}{2}$（3n+S_n），n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式a_n．
（2）{a_n}中是否存在二项构成等差数列；若存在，求出一组；若不存在，说明理由．
（3）令b_n=$\frac{3}{{a}_{n}}$，求证：b₁+b₂+…+b_n＜2．（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）由已知得S_n=2a_n-3n，S_n+1=2a_n+1-3（n+1），所以a_n+1=2a_n+3，3+a_n+1=2（3+a_n），由此能求出a_n；
（2）假设存在三项分别是第x、y、z项构成等差数列，由等差中项的概念列式得到2^y+1-x=1+2^z-x，此式不成立，说明假设错误，即不存在三项构成等差数列；
（3）把（1）中求出的a_n代入b_n=$\frac{3}{{a}_{n}}$，放缩后利用裂项相消法求和，证得b₁+b₂+…+b_n＜2．

解答 解：（1）由已知得S_n=2a_n-3n，
S_n+1=2a_n+1-3（n+1），两式相减并整理得：a_n+1=2a_n+3，
∴3+a_n+1=2（3+a_n），又a₁=S₁=2a₁-3，a₁=3可知3+a₁=6≠0，
进而可知a_n+3≠0
∴$\frac{3+{a}_{n+1}}{3+{a}_{n}}$=2，
故数列{3+a_n}是首相为6，公比为2的等比数列，
∴3+a_n=6•2^n-1，即a_n=3（2ⁿ-1）；
（2）假设存在三项分别是第x、y、z项构成等差数列，
则2×3（2^y-1）=3×（2^x-1）+3×（2^z-1），
整理得：2^y+1-x=1+2^z-x，
∴x、y、z都是整数，∴等式左边为偶数，右边为奇数，
则不存在三项构成等差数列；
（3）b_n=$\frac{3}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{3（{2}^{n}-1）}=\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
当n=1时，b₁=1＜2；
当n=2时，b₁+b₂=1+$\frac{1}{3}=\frac{4}{3}＜2$；
当n≥3时，b₁+b₂+…+b_n＜1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{n（n+1）}$
=$\frac{4}{3}+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{5}{3}-\frac{1}{n+1}＜\frac{5}{3}＜2$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．