Question

7．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+2015x+sinx，x≥0}\\{-{x^2}+λx+cos（x+α），x＜0}\end{array}}$是奇函数，则sinλα=1．

Answer 1

分析 利用函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+2015x+sinx，x≥0}\\{-{x^2}+λx+cos（x+α），x＜0}\end{array}}$是奇函数的性质可求得λ与α，再利用三角函数的诱导公式即可求得答案．

解答 解：∵f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+2015x+sinx，x≥0}\\{-{x^2}+λx+cos（x+α），x＜0}\end{array}}$是奇函数，
∴当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=（-x）²+2015（-x）+sin（-x）=-f（x）=-[-x²+λx+cos（x+α）]，
∴λ=2015，且sinx=cos（α+x），
∴α=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z），
∴sinλα=sin2015（2kπ-$\frac{π}{2}$）=-sin（-$\frac{π}{2}$）=1．
故答案为：1．

点评 本题考查函数的奇偶性求得λ与α是关键，考查诱导公式的应用，属于中档题．