Question

1．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，AB=BC=$\sqrt{2}$，∠ABC=90°，BB₁=3，D为A₁C₁的中点．
（1）求直线BC₁与CA₁所成角的余弦值；
（2）已知点E在线段AA₁上，且平面BCE与平面B₁DE垂直，求线段AE的长．

Answer 1

分析 （1）以B为原点，CB为x轴，BA为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出直线BC₁与CA₁所成角的余弦值．
（2）设E点为（0，$\sqrt{2}$，z₀），求出面B₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，1，-$\frac{\sqrt{2}}{{z}_{0}-3}$），平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，-$\frac{\sqrt{2}}{{z}_{0}}$），由平面BCE与平面B₁DE垂直，能求出AE的值．

解答 解：（1）如图，以B为原点，CB为x轴，BA为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A（0，$\sqrt{2}$，0），B₁（0，0，3），
A₁（0，$\sqrt{2}$，3），C₁（-$\sqrt{2}$，0，3），
C（-$\sqrt{2}$，0，0），D（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，3），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\sqrt{2}$，0，3），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，3$），
设直线BC₁与CA₁所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{C{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{C{A}_{1}}|}$=$\frac{|-2+9|}{\sqrt{11}•\sqrt{13}}$=$\frac{7\sqrt{143}}{143}$，
∴直线BC₁与CA₁所成角的余弦值$\frac{7\sqrt{143}}{143}$．
（2）设E点为（0，$\sqrt{2}$，z₀），
面B₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），$\overrightarrow{DE}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，z₀-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y+（{z}_{0}-3）{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-$\frac{\sqrt{2}}{{z}_{0}-3}$），
设平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{BE}=（0，\sqrt{2}，{z}_{0}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{2}{x}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=\sqrt{2}y+{z}_{0}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取y₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，-$\frac{\sqrt{2}}{{z}_{0}}$），
∵平面BCE与平面B₁DE垂直，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1+$\frac{2}{{z}_{0}（{z}_{0}-3）}$=0，
解得z₀=1或z₀=2．
∴AE=1或AE=2．

点评 本题考查两异面直线所成角的余弦值的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．