Question

13．已知椭圆C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的上下两个焦点分别为F₁，F₂，过点F₁与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，△MNF₂的面积为$\sqrt{3}$，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P（P不与原点O重合），与椭圆C交于A，B两个不同的点，使得$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由△MNF₂的面积为$\sqrt{3}$，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ 4{x^2}+{y^2}-4=0\end{array}\right.$得（k²+4）x²+2mkx+m²-4=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量知识，结合已知条件能求出m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）根据已知椭圆C的焦距为2c，当y=c时，$|MN|=|{x_1}-{x_2}|=\frac{{2{b^2}}}{a}$，
由题意△MNF₂的面积为$\frac{1}{2}|{F_1}{F_2}||MN|=c|MN|=\frac{{2{b^2}c}}{a}=\sqrt{3}$，
由已知得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴b²=1，∴a²=4，
∴椭圆C的标准方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．---（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ 4{x^2}+{y^2}-4=0\end{array}\right.$得（k²+4）x²+2mkx+m²-4=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-2km}{{{k^2}+4}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{{{k^2}+4}}$，---（6分）
由已知得△=4m²k²-4（k²+4）（m²-4）＞0，即k²-m²+4＞0，
由$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$，得-x₁=3x₂，即x₁=-3x₂，∴$3{（{x_1}+{x_2}）^2}+4{x_1}{x_2}=0$，---（8分）
∴$\frac{12{k}^{2}{m}^{2}}{（{k}^{2}+4）^{2}}+\frac{4（{m}^{2}-4）}{{k}^{2}+4}=0$，即m²k²+m²-k²-4=0．
当m²=1时，m²k²+m²-k²-4=0不成立，∴${k}^{2}=\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$，---（10分）
∵k²-m²+4＞0，∴$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}-{m}^{2}+4$＞0，即$\frac{（4-{m}^{2}）{m}^{2}}{{m}^{2}-1}＞0$，
∴1＜m²＜4，解得-2＜m＜-1或1＜m＜2．
综上所述，m的取值范围为{m|-2＜m＜-1或1＜m＜2}．---（12分）

点评 本题考查椭圆方程求法，考查实数的取值范围的求法，考查椭圆、韦达定理、根的判别式、直线方程、向量知识等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．