Question

8．已知函数f（x）=alnx-（a+2）x+x²．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意a∈[4，10]，x₁，x₂∈[1，2]，恒有|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$|≤$\frac{λ}{{x}_{1}{x}_{2}}$成立，试求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为2x³-（a+2）x²+ax+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，根据x的范围得2x³-12x²+10x+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，设h（x）=2x³-12x²+10x+λ，根据函数的性质求出λ的范围即可．

解答 解：（1）函数的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a}{x}$-（a+2）+2x=$\frac{（2x-a）（x-1）}{x}$，
a≤0时，函数在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
0＜a＜2时，函数在（0，$\frac{a}{2}$），（1，+∞）递增，在（$\frac{a}{2}$，1）递减，
a=2时，函数在（0，+∞）递增，
a＞2时，函数在（0，1），（$\frac{a}{2}$，+∞）递增，在（1，$\frac{a}{2}$）递减；
（2）|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$|≤$\frac{λ}{{x}_{1}{x}_{2}}$成立，
即|f（x₁）-f（x₂）|≤λ|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|恒成立，
不妨设x₂＞x₁，∵a∈[4，10]时，f（x）在[1，2]递减，
则f（x₁）-f（x₂）≤λ（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$），得f（x₁）-$\frac{λ}{{x}_{1}}$≤f（x₂）-$\frac{λ}{{x}_{2}}$，
设g（x）=f（x）-$\frac{λ}{x}$=alnx-（a+2）x+x²-$\frac{λ}{x}$，
故对于任意的a∈[4，10]，x₁，x₂∈[1，2]，x₂＞x₁，g（x₁）≤g（x₂）恒成立，
故g（x）=f（x）-$\frac{λ}{x}$在[1，2]递增，
g′（x）=$\frac{{2x}^{3}-（a+2{）x}^{2}+ax+λ}{{x}^{2}}$≥0在x∈[1，2]恒成立，
故2x³-（a+2）x²+ax+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，
即a（-x²+x）+2x³-2x²+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，
∵x∈[1，2]时，-x²+x≤0，
∴只需10（-x²+x）+2x³-2x²+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，
即2x³-12x²+10x+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，
设h（x）=2x³-12x²+10x+λ，则h（2）=-12+λ≥0，
故λ≥12，
故实数λ的范围是[12，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．