Question

6．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{y≥0}\\{y≤-2x+6}\end{array}\right.$，则x+3y的最大值为，8；若x²+4y²≤a恒成立，则实数a为20．

Answer 1

分析 先根据约束条件画出可行域，设z=x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过可行域内的点B时，从而得到z值即可；要求x²+4y²≤a恒成立只要求出x²+4y²的最大值即可，可以令u=x，v=2y，代出x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2u-v≥0}\\{v≥0}\\{4u+v-12≤0}\end{array}\right.$，根据简单线性规划问题进行求解．

解答 解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+3y，
将最大值转化为y轴上的截距，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+y-6=0}\end{array}\right.$，得B（2，2）．
当直线z=x+3y即$y=-\frac{x}{3}+\frac{z}{3}$经过点B（ 2，2）时，z最大，
数形结合，将点B的坐标代入z=x+3y得z最大值为：8；
由x²+4y²≤a可得a≥x²+4y²的最大值，
令x=u，2y=v，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{v}{2}≤u}\\{v≥0}\\{2u+\frac{v}{2}-6≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2u-v≥0}\\{v≥0}\\{4u+v-12≤0}\end{array}\right.$，
则x²+4y²=u²+v²≥OM²=$（\frac{12}{\sqrt{16+1}}）^{2}=\frac{144}{17}$，
又$（{u}^{2}+{v}^{2}）_{max}=O{N}^{2}=20＞O{Q}^{2}=9$，
∴a≥20．
故答案为：8，20．

点评 本题主要考查了简单的线性规划，考查了转化思想和数形结合的思想，以及利用几何意义求最值，解题的关键是会利用换元法进行求解，是中档题．