Question

16．在数列{a_n}中，a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}{a_n}+1$，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ） 计算a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ） 根据计算结果，猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式依次计算可得答案；
（Ⅱ）有（Ⅰ）可以猜测：a_n=n²，利用数学归纳法证明可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，数列{a_n}中，a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}{a_n}+1$，
则a₂=$\frac{1+2}{1}$×a₁+1=4，
a₃=$\frac{2+2}{2}$×a₂+1=9，
a₄=$\frac{3+2}{3}$×a₃+1=16，
a₅=$\frac{4+2}{4}$×a₄+1=25，
（Ⅱ）有（Ⅰ）可以猜测：a_n=n²，
用数学归纳法证明：
①、当n=1时，a₁=1²=1，即n=1时，a_n=n²成立，
②、假设n=k（k≥1）时，结论成立，即a_k=k²，
n=k+1时，a_k+1=$\frac{k+2}{k}$×a_k+1=（k+1）²，
即n=1时，结论也成立，
根据①②可得：a_n=n²成立．

点评 本题考查数学归纳法的使用，涉及数列的表示方法，关键是依据求出数列的前几项分析归纳数列的通项公式．