Question

5．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点$M（\frac{3π}{4}，0）$对称，且在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上是单调函数，则ω的值是（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{2}{3}$或2
• D． 无法确定

Answer 1

分析 根据三角函数的奇偶性、诱导公式求得f（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性以及它的图象的对称性，求得ω的值．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，∴φ=$\frac{π}{2}$，f（x）=cosωx．
根据它的图象关于点$M（\frac{3π}{4}，0）$对称，可得$ω•\frac{3π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即ω=$\frac{4}{3}$k+$\frac{2}{3}$①；
又f（x）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上是单调函数，∴ω•$\frac{π}{2}$≤π，即ω≤2 ②，
结合①②可得ω=$\frac{2}{3}$或ω=2，
故选：C．

点评 本题主要考查三角函数的奇偶性、诱导公式，余弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．