Question

16．已知函数f（x）=（x-1）e^x-kx²+2，k∈R．
（Ⅰ） 当k=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ） 若对于任意的x∈[0，+∞），f（x）≥1恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，根据f（x）_min≥1，求出k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）k=0时，f（x）=（x-1）e^x+2，
f′（x）=xe^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，
令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
故f（x）_极小值=f（0）=1；
（Ⅱ）f′（x）=x（e^x-2k），
①k≤$\frac{1}{2}$时，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）递增，
f（x）_min=f（0）=1≥1成立，
②k＞$\frac{1}{2}$时，ln2k＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＞ln2k，
令f′（x）＜0，解得：x＜ln2k，
故f（x）在[0，ln2k）递减，在（ln2k，+∞）递增，
故f（x）_min=f（ln2k）=-k[（ln2k-1）²+1]+1＜1，
故k＞$\frac{1}{2}$不合题意，
综上，k≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．