【题目】在平面四边形ABCD中, AB=2,BD=,AB⊥BC,∠BCD=2∠ABD,△ABD的面积为2.
(1)求AD的长;
(2)求△CBD的面积.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)利用面积公式可以求出sin∠ABD的值,利用同角三角函数的关系求出cos∠ABD的值,利用余弦定理,求出AD的长;
(2)利用AB⊥BC,可以求出以sin∠CBD的大小,利用∠BCD=2∠ABD,可求出sin∠BCD
的大小,通过角之间的关系可以得到所以△CBD为等腰三角形,利用正弦定理,可求出CD的大小,最后利用面积公式求出△CBD的面积.
(1)由已知=AB·BD·sin∠ABD=×2××sin∠ABD=2,
可得sin∠ABD=,又∠ABD∈,所以cos∠ABD=,
在△ABD中,由余弦定理AD2=AB2+BD2-2·AB·BD·cos∠ABD,
可得AD2=5,所以AD=.
(2)由AB⊥BC,得∠ABD+∠CBD=,所以sin∠CBD=cos∠ABD=,
又∠BCD=2∠ABD,所以sin∠BCD=2sin∠ABD·cos∠ABD=,
∠BDC=π-∠CBD-∠BCD=π--2∠ABD=-∠ABD=∠CBD,
所以△CBD为等腰三角形,即CB=CD,在△CBD中,由正弦定理,得CD,
所以.
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【题目】若二次函数f(x)满足f(x+1)﹣f(x)=4x+6,且f(0)=3.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设g(x)=f(x)+(a﹣2)x2+(2a+2)x,g(x)在[﹣2,+∞)单调递增,求a的取值范围.
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【题目】正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截,得到正六棱台和较小的棱锥.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比;
(2)若大棱锥的侧棱长为,小棱锥的底面边长为,求截得的棱台的侧面积与全面积.
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【题目】设全集为R,集合A={x|-3<x<4},B={x|1≤x≤10}.
(1)求A∪B,A∩(RB);
(2)已知集合C={x|2a-1≤x≤a+1},若C∩A=C,求实数a的取值范围.
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【题目】为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下:
未发病 | 发病 | 总计 | |
未注射疫苗 | 20 | ||
注射疫苗 | 30 | ||
总计 | 50 | 50 | 100 |
现从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物的概率为.
(1)求列联表中的数据,,,的值;
(2)判断疫苗是否有效?
(3)能够有多大把握认为疫苗有效?
(参考公式,)
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知椭圆过点,若点与椭圆左焦点构成的直线的斜率为与右焦点构成的直线的斜率为,且;
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆的另一个交点为与轴的交点为,为椭圆的中心,点在椭圆上,且,若,求直线的方程
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【题目】在四棱锥中,平面,,,且,,.
(1)求证:;
(2)在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为,如果存在,求与平面所成角的正弦值,如果不存在,请说明理由.
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