Question

10．直线l：y=$\sqrt{3}$x+2与圆O：x²+y²=4交于A、B两点，分别过A、B两点作圆O的切线，这两条切线相交于C点，将向量$\overrightarrow{OC}$绕原点O逆时针旋转角度θ后，得到向量$\overrightarrow{OD}$，当θ变化时，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$的最大值是（　　）

• A． 18
• B． 22
• C． 12
• D． 24

Answer 1

分析 由直线l：y=$\sqrt{3}$x+2与圆O：x²+y²=4组成方程组，求出点A、B的坐标；
再求出过点A、B的圆O的切线，由此求出点C的坐标，得出$\overrightarrow{OC}$；
求出将向量$\overrightarrow{OC}$绕原点O逆时针旋转角度θ后，得到向量$\overrightarrow{OD}$，
计算$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$的最大值即可．

解答 解：由直线l：y=$\sqrt{3}$x+2与圆O：x²+y²=4组成方程组，
即$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+2}\\{{x}^{2}{+y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$；
∴点A（0，2），B（-$\sqrt{3}$，-1）；
过点A、B作圆O的切线分别为y=2，和y+1=-$\sqrt{3}$（x+$\sqrt{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{y+1=-\sqrt{3}（x+\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{3}}\\{y=2}\end{array}\right.$；
∴C（-2$\sqrt{3}$，2），
∴$\overrightarrow{OC}$=（-2$\sqrt{3}$，2）；

即$\overrightarrow{OC}$=（4cos$\frac{5π}{6}$，4sin$\frac{5π}{6}$）；
将向量$\overrightarrow{OC}$绕原点O逆时针旋转角度θ后，得到向量$\overrightarrow{OD}$，
∴$\overrightarrow{OD}$=（4cos（$\frac{5π}{6}$+θ），4sin（$\frac{5π}{6}$+θ）），
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$=4cos（$\frac{5π}{6}$+θ）•（4cos（$\frac{5π}{6}$+θ）+$\sqrt{3}$）+（4sin（$\frac{5π}{6}$+θ）-2）•（4sin（$\frac{5π}{6}$+θ）+1）
=4$\sqrt{3}$cos（$\frac{5π}{6}$+θ）-4sin（$\frac{5π}{6}$+θ）+14
=8cos（$\frac{5π}{6}$+θ+$\frac{π}{6}$）+14；
当θ=π时，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$取得最大值是8+14=22．
故选：B．

点评 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了平面向量的数量积运算和三角函数的应用问题，是综合性题目．