Question

1．已知（1+x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，则a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{3}$+…+$\frac{{a}_{10}}{11}$=$\frac{2047}{11}$．

Answer 1

分析 把已知等式两边取定积分，则答案可求．

解答 解：由（1+x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，
得${∫}_{0}^{1}（1+x）^{10}dx{=∫}_{0}^{1}（{a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+…+{a}_{10}{x}^{10}）dx$，
∴$\frac{（1+x）^{11}}{11}{|}_{0}^{1}=（{a}_{0}x+\frac{1}{2}{a}_{1}{x}^{2}+…+\frac{{a}_{10}{x}^{11}}{11}）{|}_{0}^{1}$，
则${a}_{0}+\frac{1}{2}{a}_{1}+…+\frac{{a}_{10}}{11}=\frac{{2}^{11}}{11}-\frac{1}{11}=\frac{2047}{11}$．
故答案为：$\frac{2047}{11}$．

点评 本题考查二项式系数的性质，考查了定积分的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．