Question

16．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．
（Ⅰ）求f （$\frac{π}{4}$）的值；
（Ⅱ）设α∈（0，$\frac{3}{4}$π），f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{5}$，求cos2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用二倍角公式化简解析式，然后代入自变量求值；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的解析式得到f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{5}$，然后两边平方求出sin2α，根据平方关系以及角度范围求cos2α．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+cos2x，∴f（$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{2}$+cos$\frac{π}{2}$=1
（Ⅱ）∵f（$\frac{α}{2}$）=sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，
∴1+sin2α=$\frac{1}{25}$，sin2α=$-\frac{24}{25}$，
∴cos2α=$±\frac{7}{25}$，
∵α∈（0，$\frac{3}{4}$π）
∴2α∈（π，$\frac{3}{2}$π）
∴cos2α＜0．
故cos2α=$-\frac{7}{25}$．

点评 本题考查了三角函数式的化简、求值．注意三角函数名称和范围．