Question

10．已知关于x的不等式x²-4ax+3a²＜0（a＞0）的解集为（x₁，x₂），则${x_1}+{x_2}+\frac{a}{{{x_1}{x_2}}}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． $-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由根与系数的关系写出x₁+x₂和x₁x₂的值，再利用基本不等式求出${x_1}+{x_2}+\frac{a}{{{x_1}{x_2}}}$的最小值．

解答 解：不等式x²-4ax+3a²＜0（a＞0）的解集为（x₁，x₂），
∴x₁+x₂=4a，且x₁x₂=3a²；
∴${x_1}+{x_2}+\frac{a}{{{x_1}{x_2}}}$=4a+$\frac{1}{3a}$≥2$\sqrt{4a×\frac{1}{3a}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
当且仅当4a=$\frac{1}{3a}$，即a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$时“=”成立；
故所求的最小值是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了根与系数的关系和基本不等式的应用问题，是基础题目．