Question

已知圆x²+y²-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0．
（1）求证：不论k取什么值，直线和圆总有两个不同的公共点；
（2）求当k取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长．

Answer 1

分析：（1）将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，要证直线与圆有两个不同的公共点得到直线与圆相交，即d小于r，即证

|k+1|

1+k2

＜2，配方后即可得证；
（2）圆心到直线的距离最大，此时直线被圆截得的弦最短，表示出的d变形后，利用基本不等式求出d的最大值，以及此时k的值，即可确定出最短的弦长．

解答：解：（1）证明：将圆的方程化为标准方程得：（x-3）²+（y-4）²=4，
∴圆心坐标为（3，4），半径r=2，
圆心到直线kx-y-4=0的距离d=

|3k-4-4k+3|

1+k2

=

|k+1|

1+k2

，
∵3k²-2k+3=3（k-

1

3

）²+

8

3

＞0，
∴（k+1）²＜4（1+k²），即

|k+1|

1+k2

＜2=r，
则直线与圆相交，即直线与圆总有两个不同的公共点；
（2）由于当圆心到直线的距离最大时，直线被圆截得的弦最短，
而d=

|k+1|

1+k2

=

(k+1)2 k2+1

=

1+ 2k k2+1

≤

1+ k2+1 k2+1

=

2

，
当且仅当k=1时取等号，即k=1时，d_max=

2

，
则当k=1时，直线被圆截得的弦最短，最短弦长为2

22-( 2 )2

=2

2

．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式的运用，圆的标准方程，垂径定理，以及勾股定理，直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，然后由弦心距，圆的半径及弦长的一半，利用勾股定理来解决问题．