Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PC⊥平面ABCD，点E在棱PA上．
（Ⅰ）求证：直线BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PC∥平面BDE，求证：AE=EP；
（Ⅲ）是否存在点E，使得四面体A-BDE的体积等于四面体P-BDC的体积的$\frac{1}{3}$？若存在，求出$\frac{PE}{PA}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PC⊥BD，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）设AC与BD交点为O，连接OE，推导出PC∥OE，由ABCD是菱形可知O为AC中点，利用$\frac{AE}{EP}=\frac{AO}{OC}=1$，能证明AE=EP．
（Ⅲ）在△PAC中过点E作EF∥PC，交AC于点F，由ABCD是菱形可知S_△ABD=S_△BDC，由此利用${V_{E-BDA}}=\frac{1}{3}{V_{P-BDC}}$，能求出结果．

解答 （本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥BD，
因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
因为PC∩AC=C，所以BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）设AC与BD交点为O，连接OE，
因为平面PAC∩平面BDE=OE，PC∥平面BDE，
所以PC∥OE，
又由ABCD是菱形可知O为AC中点，
所以，在△PAC中，$\frac{AE}{EP}=\frac{AO}{OC}=1$，
所以AE=EP．
解：（Ⅲ）在△PAC中过点E作EF∥PC，交AC于点F，
因为PC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．
由ABCD是菱形可知S_△ABD=S_△BDC，
假设存在点E满足${V_{A-BDE}}=\frac{1}{3}{V_{P-BDC}}$，即${V_{E-BDA}}=\frac{1}{3}{V_{P-BDC}}$，则$EF=\frac{1}{3}PC$，
所以在△PAC中，$\frac{AE}{AP}=\frac{EF}{PC}=\frac{1}{3}$，
所以$\frac{PE}{PA}=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线段相等的证明，考查满足条件的点是否存在的判断及线段的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．