Question

15．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=24，且S₁₇=S₁₀，问数列{a_n}的前多少项之和最大，并求此最大值．

Answer 1

分析 解法一，由等差数列的求和公式可得17a₁+$\frac{17×16}{2}$d=10a₁+$\frac{10×9}{2}$d，解得d=-$\frac{24}{13}$，进而可得S_n=-$\frac{12}{13}$（n-$\frac{27}{2}$）²+$\frac{243}{13}$，由二次函数的性质可得结论．

解答 解：∵a₁=24，S₁₇=S₁₀，
∴17a₁+$\frac{17×16}{2}$d=10a₁+$\frac{10×9}{2}$d，解得d=-$\frac{24}{13}$．
∴S_n=24n+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-$\frac{24}{13}$）
=-$\frac{12}{13}$（n-$\frac{27}{2}$）²+$\frac{243}{13}$．
由二次函数的知识可知：当n=13或14时，S₁₃=S₁₄=$\frac{243}{13}$，即前13或14项之和最大，最大值为$\frac{243}{13}$．

点评 本题考查等差数列的性质，涉及二次函数的性质，属中档题．