【题目】已知函数f(x)=lnxa,f′(x)是f(x)的导函数,若关于x的方程f′(x)
0有两个不等的根,则实数a的取值范围是_____
【答案】(﹣∞,ln2)
【解析】
根据题意可得f′(x),代入关于x的方程f′(x)0,方程有2个交点转化为y=1
lnx
与y=a有两个不同的交点,则令g(x)=1
lnx
,求导研究g(x)的图象从而可得a的取值范围.
根据题意可得,f′(x),x>0
∵关于x的方程关于x的方程f′(x)0有两个不相等的实数根,
∴lnx
a有两个不相等的实数根,
∴y=1lnx
与y=a有两个不同的交点;
令g(x)=1lnx
,
∴g′(x),
令g′(x)=0,x=2或﹣1(舍负);
令g′(x)>0,0<x<2;令g′(x)<0,x>2;
∴g(x)的最大值为g(2)=1ln2
ln2;
∴aln2;
∴a的取值范围为(﹣∞,ln2).
故答案为:(﹣∞,ln2).
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【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,且经过点
,它的一个焦点与抛物线E:
的焦点重合,斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点,交椭圆
于C、D两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l经过点,设点
,且
的面积为
,求k的值;
(3)若直线l过点,设直线
,
的斜率分别为
,
,且
,
,
成等差数列,求直线l的方程.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率
,
分别是椭圆
的左右两个顶点,圆
的半径为
,过点
作圆
的切线,切点为
,在
轴的上方交椭圆
于点
.
(1)求直线的方程;
(2)求的值;
(3)设为常数,过点
作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点
,分别交圆
于点
,记三角形
和三角
的面积分别为
.求
的最大值.
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【题目】已知函数其中a为常数,设e为自然对数的底数.
(1)当时,求
过切点为
的切线方程;
(2)若在区间
上的最大值为
,求a的值;
(3)若不等式恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知椭圆:
(
)的左右焦点分别为
,
,点
在椭圆
上,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)点P,Q在椭圆上,O为坐标原点,且直线
,
的斜率之积为
,求证:
为定值;
(3)直线l过点且与椭圆
交于A,B两点,问在x轴上是否存在定点M,使得
为常数?若存在,求出点M坐标以及此常数的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知数列与
满足
,
.
(1)若,求数列
的通项公式;
(2)若,且数列
是公比等于2的等比数列,求
的值,使数列
也是等比数列;
(3)若,且
,数列
有最大值
与最小值
,求
的取值范围.
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