Question

若当x∈[1，2]，y∈[2，3]时，

ax2+2y2

xy

-1＞0恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数最值的应用,基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：分离参数可得不等式a＞-2(

y

x

)2+

y

x

对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，令t=

y

x

，则1≤t≤3，可得a＞t-2t²在[1，3]上恒成立，利用配方法求最值，即可确定a的取值范围．

解答： 解：由题意可知：不等式a＞-2(

y

x

)2+

y

x

对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
令t=

y

x

，则1≤t≤3，
∴a＞t-2t²在[1，3]上恒成立，
∵y=-2t2+t=-2（t-

1

4

）²+

1

8

，∴y_max=-1，
∴a＞-1．
故答案为：（-1，+∞）．

点评：本题考查恒成立，采用了分离参数法，通过求最值，解决a的取值范围问题．