Question

定义在R上的函数f（x）的图象既关于点（1，1）对称，又关于点（3，2）对称，则f（0）+f（2）+f（4）+…+f（14）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：首先根据对称性分别得到f（2-x）+f（x）=2，f（6-x）+f（x）=4，从而得到f（6-x）=f（2-x）+2，然后赋值，注意把f（2）看成常数，来表示其余的函数值，最后化简即可．

解答： 解：∵定义在R上的函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，
∴f（2-x）+f（x）=2，
又定义在R上的函数f（x）的图象关于点（3，2）对称，
∴f（6-x）+f（x）=4，
∴f（6-x）=f（2-x）+2，
令x=0得，f（0）+f（2）=2，f（0）+f（6）=4，f（6）=2+f（2），
令x=2则f（2）+f（4）=4，f（4）=4-f（2），
又f（8）=2+f（4）=6-f（2），
f（10）=2+f（6）=4+f（2），
f（12）=f（8）+2=4+f（4）=8-f（2），
f（14）=f（10）+2=4+f（6）=6+f（2）
∴f（0）+f（2）+f（4）+f（6）+…+f（14）
=16+[f（0）+f（6）]+3[f（2）+f（4）]
=16+4+12=32．
故答案为：32．

点评：本题考查函数的对称性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是解题的关键，该类问题可统一用某个函数值表示其他的值，体现归一思想，值得重视．