Question

8．在空间直角坐标系中，对其中任何一向量$\overrightarrow{X}$=（x₁，x₂，x₃），定义范数||$\overrightarrow{X}$||，它满足以下性质：
（1）||$\overrightarrow{X}$||≥0，当且仅当$\overrightarrow{X}$为零向量时，不等式取等号；
（2）对任意的实数λ，||λ$\overrightarrow{X}$||=|λ|•||$\overrightarrow{X}$||（注：此处点乘号为普通的乘号）．
（3）||$\overrightarrow{X}$||+||$\overrightarrow{Y}$||≥||$\overrightarrow{X}$+$\overrightarrow{Y}$||．
试求解以下问题：
在平面直角坐标系中，有向量$\overrightarrow{X}$=（x₁，x₂），下面给出的几个表达式中，可能表示向量$\overrightarrow{X}$的范数的是④．（把所有正确答案的序号都填上）
①$\sqrt{x_1^2}+2x_2^2$②$\sqrt{2x_1^2-x_2^2}$③$\sqrt{x_1^2+x_2^2+2}$④$\sqrt{x_1^2+x_2^2}$．

Answer 1

分析 逐个验证各式是否符合三个条件即可得出答案．

解答 解：对于①，∵λ$\overrightarrow{X}$=（λx₁，λx₂），则||$λ\overrightarrow{X}$||=$\sqrt{{λ}^{2}{{x}_{1}}^{2}}$+2λ²x₂²，而|λ|||$\overrightarrow{X}$||=|λ|$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}}$+|λ|x₂²，
∴||λ$\overrightarrow{X}$||≠|λ|•||$\overrightarrow{X}$||，不符合条件（2）；
对于②，令||$\overrightarrow{X}$||=0得2x₁²-x₂²=0，故当x₂=±$\sqrt{2}$x₁时，||$\overrightarrow{X}$||=0，不符合条件（1）；
对于③，当$\overrightarrow{X}$=（0，0）时，||$\overrightarrow{X}$||=$\sqrt{2}$≠0，不符合条件（1）；
对于④，∵|||$\overrightarrow{X}$||=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}$≥0，当且仅当x₁=x₂=0时取等号，故符合条件（1），
||λ$\overrightarrow{X}$||=$\sqrt{{λ}^{2}{{x}_{1}}^{2}+{λ}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=|λ|$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}$，故符合条件（2），
设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{X}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{Y}$=（x₃，x₄），$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}$，则||$\overrightarrow{X}$||=|OA|，||$\overrightarrow{Y}$||=|OB|，|$\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}$|=|OC|，
在平行四边形OACB中，∵|AC|=|OB|，|OA|+|AC|＞|OC|，
∴||$\overrightarrow{X}$||+||$\overrightarrow{Y}$||≥||$\overrightarrow{X}$+$\overrightarrow{Y}$||，故符合条件（3）．
故答案为④．

点评 本题考查了平面向量的几何意义，坐标运算，属于中档题．