Question

如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．
（Ⅰ）当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；
（Ⅱ）当△PDB∽△ACP时，试求∠APB的度数．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：选作题,立体几何

分析：（1）利用△ACP∽△PDB的对应边成比例和等边三角形的性质可以找到AC、CD、DB的关系；
（2）利用相似三角形的性质对应角相等和等边三角形的性质可以求出∠APB的度数．

解答： 解：（1）当CD²=AC•DB时，△ACP∽△PDB，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
若CD²=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB，
即

PC

BD

=

AC

PD

，
则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB；
（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD
∵∠PDB=120°
∴∠DPB+∠DBP=60°
∴∠APC+∠BPD=60°
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°
即可得∠APB的度数为120°．

点评：此题是开放性试题，要熟练运用相似三角形的性质和等边三角形的性质．