Question

平面内一动点P到点F（2，0）的距离比它到直线x+3=0的距离少1
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过点F（2，0）作一条倾斜角为α的直线，交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，线段AB的中点是M，直线OM的斜率k_OM=f（α），求k_OM=f（α）的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由抛物线定义可判断曲线为抛物线，从而可知p=2，得到方程；
（2）设直线AB：my=x-2，代入y²=8x，得y²-8my-16=0，利用韦达定理、中点坐标公式可表示M坐标，进而表示k_OM=f（α），分m=0，m＞0，m＜0三种情况讨论，然后运用基本不等式可求斜率范围；

解答： 解：（1）由题意知动点P的轨迹是以F为焦点、x=-2为准线的抛物线，
∴动点P的轨迹方程是y²=8x；
（2）设直线AB：my=x-2，代入y²=8x，得y²-8my-16=0，
则y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
x₁+x₂=（my₁+2）+（my₂+2）=8m²+4，
∴M（4m²+2，4m），
∴k_OM=f（α）=

4m

4m2+2

=

2m

2m2+1

，
当m=0时，k_OM=0；
当m＞0时，0＜k_OM=

2

2m+ 1 m

≤

2

2 2m• 1 m

=

2

2

，当且仅当m=

2

2

时取等号；
当m＜0时，0＞k_OM=

2

2m+ 1 m

=

-2

-2m- 1 m

≥

-2

2 -2m• 1 -m

=-

2

2

，当且仅当=-

2

2

时取等号；
综上所述，k_OM=f（α）的取值范围是[-

2

2

，

2

2

]．

点评：该题考查抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系，考查斜率公式、基本不等式等知识，考查分类讨论思想．