Question

已知

a

=（-cosx，sinx），

b

=（cosx，

3

cosx），f（x）=

a

•

b

，x∈[0，π]，则当f（x）取最大值时，求

a

，

b

的夹角．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：先根据两向量的坐标，表示出f（x）=

a

•

b

，利用两角和公式和二倍角公式整理，根据三角函数图象与性质求得函数去最大值时，x的值，最后根据平面向量的数量积求得两向量的夹角．

解答： 解：f（x）=

a

•

b

=-cos²x+

3

sinxcosx=-

cos2x+1

2

+

3

2

sin2x=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
∴当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

时，即x=kπ+

π

3

时，k∈Z，f（x）的值最大．
设θ为

a

，

b

的夹角，cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

1 2

1×1

=

1

2

，
∴θ=

π

3

．

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数，平面向量的数量积的运算，三角函数图象与性质．考查了学生综合运用基础知识的能力．