Question

给出命题p：a（a-1）＜0；命题q：y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：通过解一元二次不等式，以及二次函数和x轴交点的情况和判别式△的关系即可求出命题p，q下的a的取值范围，根据“p∨q”为真，“p∧q”为假可得p真q假，或p假q真，求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．

解答： 解：命题p：0＜a＜1；
命题q：y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点，∴△=（2a-3）²-4＞0；
解得a＞

5

2

，或a＜

1

2

；
命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，即p，q中一真一假；
当p真q假时，

0＜a＜1 1 2 ≤a≤ 5 2

，∴

1

2

≤a＜1；
当p假q真时，

a≤0，或a≥1 a＜ 1 2 ，或a＞ 5 2

，解得a≤0，或a＞

5

2

；
所以a的取值范围是（-∞，0]∪[

1

2

，1)∪(

5

2

，+∞)．

点评：考查解一元二次不等式，二次函数图象和x轴交点的情况和判别式△的关系，p∨q，p∧q真假和p，q真假的关系．