Question

12．设p：实数x满足：x²-4ax+3a²＜0（a＞0），q：实数x满足：x=（$\frac{1}{2}$）^m-1，m∈（1，2）．
（Ⅰ）若a=$\frac{1}{4}$，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=$\frac{1}{4}$代入求出p为真时，x的范围，由指数函数的图象和性质，求出q为真时，x的范围，再由p∧q为真，求出两个范围的交集，可得实数x的取值范围；
（Ⅱ）p是q的必要不充分条件，即$\left\{\begin{array}{l}a≤\frac{1}{2}\\ 3a≥1\end{array}\right.$，解得实数a的取值范围．

解答 解：（I）p：a＜x＜3a（a＞0），
$a=\frac{1}{4}$时，$p：\frac{1}{4}＜x＜\frac{3}{4}$…（1分）$q：\frac{1}{2}＜x＜1$…（2分）
∵p∧q为真
∴p真且q真                            …（3分）
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}＜x＜\frac{3}{4}\\ \frac{1}{2}＜x＜1\end{array}\right.$，得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}$，
即实数x的取值范围为$\left\{{x\left|{\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}}\right.}\right\}$…（5分）
（II）q是p的充分不必要条件，记$A=\left\{{x\left|{\frac{1}{2}＜x＜1}\right.}\right\}$，B={x|a＜x＜3a，a＞0}
则A是B的真子集                                      …（7分）
∴$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ 3a＞1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜\frac{1}{2}\\ 3a≥1\end{array}\right.$…（9分）
得$\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}$，即a的取值范围为$[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}]$…（10分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次不等式的解法，指数函数的图象和性质，难度中档．