Question

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.

(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；

(2)证明平面AMD⊥平面CDE；

(3)求锐二面角A­CD­E的余弦值．

Answer 1

解　如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原 点．设AB＝1，依题意得B(1，0，0)，

C(1，1，0)，D(0，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，

M(，1，)．

(1)＝(－1，0，1)，＝(0，－1，1)，

于是cos〈，〉＝＝＝.

所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.

(2)证明　由＝(，1，)，＝(－1，0，1)，

＝(0，2，0)，可得·＝0，·＝0.

因此，CE⊥AM，CE⊥AD.

又AM∩AD＝A，故CE⊥平面AMD.

而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.

(3)设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，

则于是令x＝1，可得u＝(1，1，1)．

又由题设，平面ACD的一个法向量为v＝(0，0，1)．

所以，cos〈u，v〉＝＝＝.

因为二面角A­CD­E为锐角，所以其余弦值为.