Question

【题目】已知（且m为常数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意的，都存在，使得（其中e为自然对数的底数），求实数k的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，递增区间是，无递减区间，当时，递增区间是，递减区间是；（2）.

【解析】

（1）求出，对分类讨论，求出的解，就可得出结论；

（2）设，所求的问题转化为，通过求导数法，求出取最大值时自变量与的关系，而对任意的都成立，将用表示，构造新函数，再求导求出新函数的最小值，即可求出结论.

（1）的定义域为，

，当时，恒成立，

当时，，

综上，当时，递增区间是，无递减区间，

当时，递增区间是，递减区间是；

（2）设，依题意，

，令，

恒成立，在是减函数，

即在是减函数，，

，存在唯一，使得，

当，

递增区间是，递减区间是，

取得极大值，也是最大值为，

，

对于对任意的恒成立，

其中，，

即，

对于对任意的恒成立，

设，

，

时，，

，当，

时，取得极小值，也是最小值，

即.