Question

12．已知点P的轨迹方程为（x+1）²+（y-2）²=1，直线l与点P的轨迹相切，且l在x轴． y轴上的截距相等，
（1）若截距均为0，是否存在这样的直线，若存在，求直线l的方程．
（2）若截距不为0，是否存在这样的直线，若存在，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设P点坐标为（x，y），N点坐标为（x₀，y₀），则由中点坐标公式有$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{-2+{x_0}}}{2}}\\{y=\frac{{4+{y_0}}}{2}}\end{array}}\right.$$⇒\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=2x+2}\\{{y_0}=2y-4}\end{array}}\right.$，用未知点表示已知点，代入已知关系式中得到结论．
（2）因直线l在x轴、y轴上截距相等，故l的斜率存在且不为0，当直线l在x轴、y轴截距都为0时，设直线l的方程为：y=kx，并结合线圆相切得到斜率k的值，进而得到结论．

解答 解：（1）设P点坐标为（x，y），N点坐标为（x₀，y₀），
则由中点坐标公式有$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{-2+{x_0}}}{2}}\\{y=\frac{{4+{y_0}}}{2}}\end{array}}\right.$$⇒\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=2x+2}\\{{y_0}=2y-4}\end{array}}\right.$
∵N点在圆x²+y²=4上，
$\begin{array}{l}∴{x_0}^2+{y_0}^2=4\\∴{（2x+2）^2}+{（2y-4）^2}=4\\∴{（x+1）^2}+{（y-2）^2}=1\end{array}$
即为点P的轨迹方程…6分
（2）因直线l在x轴、y轴上截距相等，故l的斜率存在且不为0，
当直线l在x轴、y轴截距都为0时，设直线l的方程为：y=kx，即kx-y=0
∵直线l与（x+1）²+（y-2）²=1相切，∴$\frac{\left|-\right.k-\left.2\right|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1⇒k=-\frac{3}{4}$…9分
当l在x轴、y轴上的截距均不为0时，设直线l的方程为$：\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，即x+y-a=0
∵直线l与（x+1）²+（y-2）²=1相切，∴$\frac{{|{-1+2-a}|}}{{\sqrt{2}}}=1⇒a=1±\sqrt{2}$，
故直线l的方程为$x+y-1-\sqrt{2}=0$或$x+y-1+\sqrt{2}=0$
综上可知l的方程为：$y=-\frac{3}{4}x$
或$x+y-1-\sqrt{2}=0$或$x+y-1+\sqrt{2}=0$…12分

点评 本试题主要是考查了利用相关点法求解轨迹方程，以及利用直线与圆相切，确定参数的值，并利用直线在两坐标轴上截距相等得到直线的方程．