Question

6．已知点Q（2，0）和点P（2cosα，2sinα+2），α∈[0，2π）．线段PQ的中点为M．
（Ⅰ）求点M的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）设点P的轨迹与点M的轨迹交于A，B两点，求△QAB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用中点坐标公式，求点M的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）求出P，Q的普通方程，可得公共弦的方程，|AB|，求出Q到直线AB的距离，即可求△QAB的面积．

解答 解：（Ⅰ）由题意，设M（x，y），则
∵点Q（2，0）和点P（2cosα，2sinα+2），α∈[0，2π），线段PQ的中点为M，
∴x=1+cosα，y=1+sinα，
∴点M的轨迹的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$，α∈[0，2π）；
（Ⅱ）由题意，P的轨迹方程为x²+（y-2）²=4，Q的轨迹方程为（x-1）²+（y-1）²=1，
联立可得公共弦的方程为2x-2y-1=0，|AB|=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
Q到直线AB的距离d=$\frac{3}{\sqrt{4+4}}$=$\frac{3}{\sqrt{8}}$，
∴△QAB的面积为$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}×\frac{3}{\sqrt{8}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．

点评 本题考查参数方程，考查圆与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．