Question

如图，公园要把一块边长为2a的等边三角形ABC的边角地修成草坪，DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
（1）设AD=x（x≥a），DE=y，试用x表示函数y；
（2）如果DE是灌溉水管，希望它最短，D、E的位置应该在哪里？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）在△ADE中，由余弦定理可得x，y，AE之间的关系，然后由S_△ADE=

1

2

S_△ABC，结合面积公式可求x与AE的关系，即可得到结论；
（2）利用基本不等式可求函数的最小值，即可得出结论．

解答： 解：（1）在△ADE中，y²=x²+AE²-2x•AE•cos60°⇒y²=x²+AE²-x•AE，①…（2分）
又S_△ADE=

1

2

S_△ABC=x•AE•sin60°，
∴AE=

2a2

x

（4分）
②代入①得y=

x2+ 4a4 x2 -2a2

（a≤x≤2a）…（8分）
（2）如果DE是水管y=

x2+ 4a4 x2 -2a2

≥

2

a，…（12分）
当且仅当x²=

4a4

x2

，即x=

2

a时“=”成立，…（13分）
故DE∥BC且AD=

2

a时水管的长度最短（15分）

点评：本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，及基本不等式在函数的最值求解中的应用，计算虽然简单，但是考查的内容具有较强的综合性