精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(本小题满分13分)
给定椭圆,称圆心在坐标原点,半径为的圆是椭圆的“伴随圆”. 若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为
(Ⅰ)求椭圆及其“伴随圆”的方程;
(Ⅱ)若过点的直线与椭圆C只有一个公共点,且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为,求的值;
(Ⅲ)过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线,使得与椭圆C都只有一个公共点,试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.
解:(Ⅰ)由题意得:,半焦距       
椭圆C方程为                       
“伴随圆”方程为                             ……………3分
(Ⅱ)则设过点且与椭圆有一个交点的直线为:,         
整理得
所以,解①    ……………5分
又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为
则有化简得  ②      ……………7分
联立①②解得,
所以,则                   ……………8分
(Ⅲ)当都有斜率时,设点其中
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
消去得到  ……………9分
 
经过化简得到:,               ……………11分
因为,所以有
的斜率分别为,因为与椭圆都只有一个公共点,
所以满足方程
因而,即直线的斜率之积是为定值           ……………13分
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若双曲线与直线无交点,则离心率的取值范围是
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系中,点,已知的垂直平分线,当点为动点时,点的轨迹图形设为

(1)求的标准方程;
(2)点上一动点,点为坐标原点,曲线的右焦点为,求的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,一圆形纸片的圆心为O,  F是圆内一定点,M是圆周
上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕
为CD, 设CD与OM交于P, 则点P的轨迹是( 
A.椭圆B.双曲线
C.抛物线D.圆

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

若曲线C上的点到直线的距离比它到点F的距离大1,
(1)求曲线C的方程。
(2)过点F(1,0)作倾斜角为的直线交曲线C于A、B两点,求AB的长
(3)过点F(1,0)作斜率为k 的直线交曲线C于M、N 两点,求证:
 为定值

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆方程为,射线与椭圆的交点为,过作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆于两点(异于).
(1)求证:直线
(2)求面积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

椭圆的离心率为
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

( )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆()过点,其左、右焦点分别为,且

(1)求椭圆的方程;
(2)若是直线上的两个动点,且,则以为直径的圆是否过定点?请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案