Question

【题目】如图，是边长为6的正方形，已知，且并与对角线交于，现以为折痕将正方形折起，且重合，记重合后为，记重合后为.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取中点，连接，则，再取中点，连接，易得，得出四边形为平行四边形，得，，证明平面，即可证出平面平面.

（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，利用空间向量法分别求出平面和平面的法向量，再利用空间向量二面角公式求出结果.

（1）取中点，连接，则.再取中点，连接，易得，于是，四边形为平行四边形，得，从而，

那么平面，又平面，故平面平面.

（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，则，，

设平面的法向量，由得：

，取，得，

所以平面的法向量.

同理可得：平面的法向量，

则，

所以平面与平面所成二面角的余弦值为.